数形结合思想例题

解：（1）尝试解决：

∵第一个图形的阴影部分的面积是a2-b2，

第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b） ，

∴a2-b2=（a+b）（a-b）．

即可以验证平方差公式的几何意义；

（2）尝试解决：

如图
，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=13 ，

B、C 、D表示2个2×2的正方形
，即：2×2×2=23，

E
、F、G表示3个3×3的正方形 ，即：3×3×3=33
，

而A 、B
、C、D 、E
、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6 ，

∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形
，

∴13+23+33=62；

（3）问题拓广：

由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2 ，

又∵1+2+3+…+n=

∴13+23+33+…+n3=（

故答案为62；

数学基本思想方法有哪些

画y=2x-1的图像
，与y=3/x的图像，

y=2x-1的图像过一三 、四象限 ，y=3/x的图像过一三象限
，所以有两个交点，即两解
。

解方程：

去分母：2x 平方-x-3=0

（2x-3）（x—1）=0

x=3/2或x=1

经检验是原方程的解（注：本题不能化为一元一次的方程 ，而是化为一元二次的方程
，故两解）

如何在四年级数学课渗透数形结合思想

1
、数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一 ，是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观
，形无数时难入微
”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括 。

2、转化思想：在整个初中数学中 ，转化(化归)思想一直贯穿其中
。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决
，如化繁为简 、化难为易，化未知为已知 ，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

3、分类思想：有理数的分类
、整式的分类、实数的分类 、角的分类
，三角形的分类
、四边形的分类、点与圆的位置关系 、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的 。

4
、整体思想

从问题的整体性质出发 ，突出对问题的整体结构的分析和改造
，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光 ，把某些式子或图形看成一个整体
，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理
。

5 、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较 ，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处
，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想 。数形结合就是通过数与形的相互转化
、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法
。它既是一个重要的数学思想 ，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想
，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化 ，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中
，提高学生的思维能力和数学素养 。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果
。

一、渗透数形结合思想 ，把抽象的数学概念直观化
，帮助学生形成概念

建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义 ”是人们一致公认的事物的性质 、规律以及事物之间的内在联系 ，是比较抽象的概念 。而“数形结合
”能使比较抽象的概念转化为清晰
、具体的事物
，学生容易掌握和理解。

例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象 、生动的特点展现乘法的初始状态 ，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式
，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度
。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用Power Point幻灯片技术展现一条船上有三人 ，然后依次出现这样的第二条船
，第三条船，一直到第六条船 ，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示 。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船
，30条船，甚至100条船 ，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦~~！！算式太长了
，本子都写不下呢
。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义 ，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算 。

由此可以看出
，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性
。教师对教材的加工 ，把6条小船增加到20条
，30条，甚至100条船 ，使学生产生更为强烈的认知冲突
，感悟到乘法的简便。教师引领学生边观察边数，一个3 ，两个3……一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果 。其次
，从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程 ，也就是由直观的小船
，抽象成连加算式，抽象成乘法算式 ，经历了由一般到特殊的思维过程
。

教学实践证明：在教学中运用数形结合
，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征 ，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新
、求异意识。

二、渗透数形结合思想
，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理

小学数学内容中 ，有相当部分的内容是计算问题
，计算教学要引导学生理解算理 。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时 ，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法
，正所谓“知其然，知其所以然
。数形结合 ，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如
，学习“植树问题 ”时，先与学生们一起玩手指游戏 。即出示两个手指 ，让学生观察
，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。
”接着出示三个手指，让学生观察 ，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔
。”……从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数＝间隔数＋1。情境引入后
，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵 ，两端也要种 。一共需要多少棵树苗？ ”然后让学生分组讨论
，根据自己的理解列式解答，并设法验证
。汇报时 ，有些学生是通过画示意图，进行“实地
”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下
，植树的总棵数＝间隔数＋1

像这样，把算式形象化 ，学生看到算式就联想到图形
，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理 。

三 、渗透数形结合思想 ，在解决问题的过程中
，提高学生的思维能力

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一
。在分析问题的过程中 ，注意把数和形结合起来考察
，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题 ，或者把数量关系的问题转化为图形的问题
，使复杂问题简单化，抽象问题具体化 ，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力 。

如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的
，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍 ”的知识
。

这道题的意思是：一个数减少几 ，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系
，对二年级学生来说比较难的，因为这是四年级知识 。但是此题将图形与数量结合呈现 ，就大大降低了解题的难度
，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式
。实际教学中有95%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍
”的含义 ，无形中把学生一般思维过渡到高级思维
，并且训练了学生综合运用所学知识处理问题的能力。

这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新 ，它的解题过程
，成功地成为发动认识与构思的内在机制 。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来 ，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理
，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系 ，实现抽象概念和具体形象
、表象之间的转化
，发展学生的思维。

教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手 ，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学
，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学 、解决数学问题的工具
。